Fórmulas de Hazen-Williams e Fair – Whipple – Hsiao: Diferenças e aplicações no dimensionamento hidráulico

Filosofia · Matemática · Fundamentos

Os números são descobertos ou inventados?

Uma investigação sobre a natureza dos objetos matemáticos, a realidade abstrata e os limites do conhecimento humano.

O número 2 existiria se nunca tivesse existido um ser humano para pensá-lo? E a infinitude dos números primos continuaria sendo verdadeira se ninguém jamais a demonstrasse?

Essas perguntas parecem simples, mas nos conduzem a uma das discussões mais profundas da filosofia da matemática: os objetos matemáticos são descobertos em uma realidade independente de nós ou são construções da mente humana?

Quando escrevemos 2 + 3 = 5, utilizamos símbolos que fazem parte de uma linguagem criada e desenvolvida historicamente. Mas será que a verdade expressa por esses símbolos também foi criada por nós? Poderíamos ter decidido que 2 + 3 = 6? E, se não podemos decidir livremente o resultado, o que exatamente inventamos quando desenvolvemos a matemática?

A dificuldade está em distinguir duas coisas: os instrumentos que utilizamos para representar o conhecimento e aquilo que esses instrumentos nos permitem afirmar sobre os objetos matemáticos.

Este artigo investiga as principais respostas a esse problema. Examinaremos a ideia de que os números são descobertos, a posição de que a matemática é uma construção humana e algumas perspectivas intermediárias. Para isso, recorreremos a exemplos da aritmética, da teoria dos números e da geometria, buscando compreender por que uma questão aparentemente abstrata possui consequências tão importantes para nossa concepção de conhecimento.

Neste artigo

1. O problema começa com uma pergunta simples
2. A matemática como descoberta
3. Platão e a realidade dos objetos matemáticos
4. A matemática como invenção humana
5. Símbolos inventados, relações descobertas?
6. O que os números primos nos ensinam
7. Três perspectivas filosóficas
8. Por que a matemática descreve o universo?
9. O que podemos concluir?

01 — A PERGUNTA
O problema começa com uma pergunta simples

Comecemos com algo elementar: temos dois objetos e acrescentamos outros três. Ao contar o conjunto, encontramos cinco objetos.

2 + 3 = 5

Na vida cotidiana, essa operação pode ser ilustrada com pedras, frutas ou moedas. Entretanto, a matemática não depende de quais objetos escolhemos. A relação aritmética permanece a mesma quando substituímos maçãs por estrelas, livros ou partículas físicas.

Essa independência em relação aos objetos concretos é uma das características mais interessantes do conhecimento matemático. A matemática trabalha com relações abstratas que podem ser aplicadas a situações muito diferentes.

Agora imaginemos uma civilização que nunca desenvolveu a escrita, nunca criou os símbolos 0, 1, 2, 3 e nunca formulou uma teoria aritmética. Seria necessário que essa civilização inventasse o símbolo 2 para que a relação entre dois objetos e outros três resultasse em cinco?

É importante distinguir a capacidade de representar uma relação da própria relação representada. Os símbolos numéricos são convenções humanas. Podemos escrever o número dois como "2", "II" ou utilizando um símbolo de outro sistema de numeração. A notação muda, mas aquilo que contamos não precisa mudar.

Porém, essa observação ainda não resolve a questão filosófica. O fato de uma relação ser independente de uma notação específica não prova que os números existam em uma realidade abstrata independente da mente humana.

A distinção fundamental: demonstrar que uma verdade matemática não depende de determinado símbolo é diferente de demonstrar que o objeto matemático correspondente existe independentemente de qualquer mente.

É precisamente nesse intervalo entre o que podemos observar e o que podemos concluir que começa a filosofia da matemática.

02 — DESCOBERTA
A matemática como descoberta

A ideia de que a matemática é descoberta parte de uma intuição poderosa: os matemáticos frequentemente encontram propriedades que não podem modificar simplesmente por vontade própria.

Podemos inventar um jogo, estabelecer suas regras e criar novos símbolos. Entretanto, depois de definidos os princípios de um sistema matemático, nem todas as conclusões ficam abertas à nossa escolha. Algumas decorrem necessariamente das regras adotadas.

Considere os números pares. Na aritmética dos inteiros, podemos caracterizá-los como números divisíveis por 2, ou seja, números da forma:

n = 2k

Aqui, n é um número inteiro par e k é um número inteiro. A definição permite demonstrar diversas propriedades dos números pares. Por exemplo, a soma de dois números pares é sempre par.

Sejam dois números pares:

a = 2m    e    b = 2n

Somando os dois números, obtemos:

a + b = 2m + 2n = 2(m + n)

Como m + n é inteiro, a soma também é divisível por 2. Portanto, a soma de dois números pares é par.

Depois de compreendermos a definição de número par e as propriedades da aritmética dos inteiros, não podemos escolher arbitrariamente o resultado dessa demonstração. A conclusão decorre das premissas e das regras utilizadas.

Descobrir algo que não escolhemos

O defensor da matemática como descoberta observa que a investigação matemática frequentemente produz resultados inesperados. Uma conjectura pode parecer plausível e, ainda assim, revelar-se falsa. Uma teoria pode conduzir a consequências que seus próprios criadores não anteciparam.

Essa experiência alimenta a ideia de que a matemática não é simplesmente uma coleção de decisões humanas. Quando desenvolvemos uma teoria, descobrimos relações que não dependem daquilo que gostaríamos que fosse verdade.

Mas devemos ter cautela: a necessidade lógica de uma conclusão, uma vez aceitas determinadas premissas, não prova por si só que os objetos matemáticos existam em uma realidade independente. Um filósofo pode reconhecer a objetividade das demonstrações sem aceitar uma interpretação platônica da existência dos números.

Assim, a matemática como descoberta é uma posição filosoficamente atraente, mas exige uma explicação adicional: o que exatamente estamos descobrindo?

03 — PLATÃO
Platão e a realidade dos objetos matemáticos

Uma das respostas mais conhecidas para a questão é o platonismo matemático, uma família de posições segundo as quais os objetos matemáticos existem independentemente de nossas mentes, de nossas linguagens e de nossas práticas de representação.

A inspiração histórica encontra-se na filosofia de Platão, para quem o conhecimento intelectual não se reduz à percepção dos objetos sensíveis. Na tradição platônica, os objetos matemáticos estão associados a uma dimensão inteligível, distinta das coisas materiais que encontramos na experiência cotidiana.

O triângulo desenhado e o triângulo geométrico

Desenhemos um triângulo em uma folha de papel. O desenho possui espessura, pode apresentar irregularidades e pode ser destruído. Nenhum triângulo desenhado por nós corresponde perfeitamente a todas as propriedades do objeto geométrico ideal.

Na geometria euclidiana, entretanto, podemos estudar triângulos com definições precisas e demonstrar propriedades gerais. Uma demonstração não precisa depender da perfeição do desenho, pois sua validade se apoia nos conceitos, nos axiomas e nas inferências utilizadas.

O platonista interpreta essa característica como indício de que os objetos matemáticos não se confundem com suas representações materiais. O triângulo desenhado seria apenas uma representação imperfeita de uma estrutura geométrica abstrata.

Mas existe uma diferença entre aceitar objetos abstratos como elementos de uma teoria e sustentar que eles existem independentemente da mente humana. A primeira afirmação não obriga automaticamente à segunda.

A matemática parece permitir que conheçamos verdades que não dependem das características particulares dos objetos que percebemos pelos sentidos. Reflexão inspirada no problema platônico do conhecimento matemático.

O desafio do platonismo

Se os números existem independentemente de nós, como conseguimos conhecê-los? Não podemos observar diretamente o número 7 como observamos uma árvore. Não podemos apontar para uma localização física e mostrar onde se encontra o conjunto de todos os números naturais.

Essa dificuldade é conhecida, em termos gerais, como um problema epistemológico do platonismo matemático: explicar como seres humanos, que vivem no mundo físico, adquirem conhecimento sobre objetos abstratos que não parecem interagir causalmente conosco como os objetos materiais.

O platonista precisa explicar a relação entre a existência independente dos objetos matemáticos e nossa capacidade de conhecê-los. Essa tarefa não é simples, e diferentes filósofos oferecem respostas diferentes.

A força do platonismo está em levar a sério a objetividade e a aparente independência das verdades matemáticas. Seu desafio está em explicar a natureza dos objetos abstratos e como podemos conhecê-los.

04 — INVENÇÃO
A matemática como invenção humana

Uma posição alternativa enfatiza o papel da mente humana, das definições, das construções e dos sistemas simbólicos no desenvolvimento da matemática.

Não encontramos os símbolos numéricos prontos na natureza. Os seres humanos desenvolveram diferentes sistemas de representação, criaram métodos de cálculo e estabeleceram linguagens para expressar relações quantitativas e estruturais.

O sistema decimal, por exemplo, organiza os números utilizando dez algarismos e o princípio posicional. Outros sistemas históricos, como a numeração romana, representam quantidades de outra maneira. A matemática pode ser expressa por convenções diferentes, e essas convenções influenciam a facilidade com que executamos determinados cálculos.

Inventar regras e investigar suas consequências

Imagine que definimos um novo sistema formal, com símbolos, axiomas e regras de inferência. Nesse sistema, podemos investigar quais proposições podem ser demonstradas a partir dos princípios estabelecidos.

A criação dos símbolos e a escolha inicial dos axiomas envolvem decisões humanas. Entretanto, uma vez fixados os princípios, as consequências lógicas não são necessariamente escolhidas uma a uma. Precisamos investigá-las.

Isso permite formular uma posição intermediária: podemos inventar sistemas matemáticos e, ao mesmo tempo, descobrir consequências que não antecipávamos quando os criamos.

Há também concepções construtivistas que atribuem importância central às construções matemáticas realizadas pela mente. Nessas perspectivas, a existência matemática não é entendida simplesmente como a descoberta de um objeto abstrato pronto, independente de qualquer possibilidade de construção ou justificação.

É importante não confundir todas essas posições. O construtivismo, o intuicionismo e outras abordagens possuem diferenças substanciais, e nenhuma delas pode ser resumida à afirmação de que os números são apenas fantasias subjetivas.

Uma questão decisiva: se os seres humanos inventaram os sistemas de representação e as regras de uma teoria, isso significa que podem escolher livremente todas as verdades que serão demonstradas dentro dela? Não. As consequências lógicas impõem restrições ao que podemos afirmar sem contradição com os princípios adotados.

05 — REPRESENTAÇÃO
Símbolos inventados, relações descobertas?

Talvez a maneira mais produtiva de avançar seja abandonar, por um momento, a ideia de que precisamos escolher entre duas respostas absolutamente opostas.

Podemos distinguir pelo menos três questões:

1. A notação matemática: os símbolos utilizados para escrever números e operações são convenções desenvolvidas por seres humanos.

2. Os sistemas matemáticos: definições, axiomas e regras podem ser formulados e estudados de diferentes maneiras. A escolha de um sistema determina quais questões estamos investigando.

3. As consequências matemáticas: uma vez estabelecidos os pressupostos e as regras de inferência, determinadas conclusões decorrem deles, independentemente de nossas preferências.

Essa distinção não resolve definitivamente a questão ontológica sobre a existência dos números, mas permite compreender melhor por que a matemática combina criatividade humana com rigor e objetividade.

Um exemplo com a geometria

Na geometria euclidiana, o postulado das paralelas desempenha um papel importante. Ao modificar o tratamento desse postulado, matemáticos desenvolveram geometrias não euclidianas, nas quais certas propriedades diferem das propriedades familiares da geometria plana euclidiana.

Isso não significa que os matemáticos tenham demonstrado que qualquer afirmação geométrica pode ser verdadeira. Significa que diferentes sistemas axiomáticos podem produzir estruturas matemáticas distintas, cada qual com suas próprias relações e teoremas.

Em uma esfera, por exemplo, as geodésicas — os caminhos que desempenham o papel de linhas retas nessa superfície — podem se comportar de modo diferente das retas no plano. A geometria depende da estrutura considerada e dos conceitos definidos para estudá-la.

O exemplo mostra que as escolhas dos fundamentos importam. Também mostra que a investigação das consequências de cada sistema exige rigor: não podemos misturar resultados de geometrias diferentes sem verificar as hipóteses em que eles se apoiam.

A criatividade participa da construção das teorias matemáticas; o rigor determina quais conclusões podem ser justificadas dentro delas. Reflexão sobre a relação entre invenção, axiomas e demonstração.

Portanto, a alternativa entre descoberta e invenção talvez seja menos simples do que parece. Em algumas dimensões da atividade matemática, criamos representações e estruturas. Em outras, investigamos consequências que não controlamos individualmente.

06 — TEORIA DOS NÚMEROS
O que os números primos nos ensinam

A teoria dos números oferece um excelente campo para refletirmos sobre a objetividade matemática. Os números primos são números naturais maiores que 1 que possuem exatamente dois divisores positivos: 1 e eles mesmos.

Os primeiros números primos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...

Esses números apresentam propriedades que podem ser investigadas por métodos rigorosos. Uma das descobertas mais famosas da matemática antiga é a demonstração de Euclides de que existem infinitos números primos.

Por que não existe um último número primo?

Suponhamos que alguém afirme ter encontrado todos os números primos. Poderíamos escrever essa lista como:

p₁, p₂, p₃, ..., pₙ

Multiplicamos todos os números da lista e acrescentamos 1:

N = p₁ · p₂ · ... · pₙ + 1

O número N deixa resto 1 quando dividido por qualquer primo da lista. Assim, nenhum dos primos listados divide N.

Se N for primo, temos um primo que não aparece na lista. Se N for composto, terá algum divisor primo que também não aparece nela, pois nenhum dos primos da lista divide N.

Logo, a lista não poderia conter todos os números primos. Como a mesma argumentação pode ser aplicada a qualquer lista finita que alegue conter todos eles, concluímos que existem infinitos números primos.

Uma verdade que depende de nós?

A demonstração foi formulada por seres humanos, usando uma linguagem e um conjunto de conceitos matemáticos. Contudo, a conclusão não é uma preferência pessoal de Euclides. Ela decorre do argumento dentro da aritmética utilizada.

O exemplo é filosoficamente interessante porque revela uma característica essencial da investigação matemática: podemos criar uma demonstração, mas não decidimos livremente se ela é válida. Outros matemáticos podem examiná-la, identificar falhas ou confirmar que a conclusão decorre das premissas.

O resultado também nos obriga a distinguir duas questões. A demonstração estabelece uma propriedade dos números primos no sistema considerado. Já a pergunta sobre se os números primos existem independentemente das mentes humanas continua sendo uma questão filosófica mais ampla.

O ponto central: a objetividade de uma demonstração matemática não resolve automaticamente a discussão sobre a existência independente dos objetos matemáticos. Mas torna indispensável explicar por que nossas preferências pessoais não determinam livremente quais demonstrações são válidas.

07 — CORRENTES
Três perspectivas filosóficas

Para organizar o debate, vale conhecer três perspectivas influentes. Elas não esgotam todas as posições possíveis, mas ajudam a compreender as diferentes maneiras pelas quais os filósofos tentam explicar a natureza da matemática.

1. Platonismo matemático: descobrir

Para o platonismo, os objetos matemáticos existem independentemente de nossas mentes. A atividade matemática é, em algum sentido, uma forma de descoberta de estruturas abstratas e de suas propriedades.

Questão central: como conseguimos conhecer objetos abstratos que não fazem parte do mundo físico da mesma maneira que os objetos materiais?

2. Formalismo: trabalhar com sistemas formais

O formalismo enfatiza os axiomas, os símbolos e as regras de inferência que constituem os sistemas matemáticos. A investigação dos fundamentos procura compreender quais conclusões podem ser obtidas a partir de determinados princípios e quais propriedades os próprios sistemas apresentam.

O programa de David Hilbert é uma referência histórica importante nessa discussão. Entretanto, o formalismo possui diferentes interpretações, e não deve ser reduzido à afirmação de que a matemática é apenas um jogo sem significado.

Questão central: o que podemos estabelecer rigorosamente a partir de um conjunto explícito de axiomas e regras?

3. Intuicionismo: construir

O intuicionismo, associado a L. E. J. Brouwer, atribui um papel central às construções matemáticas e à atividade intelectual por meio da qual os objetos e resultados são estabelecidos.

Essa abordagem influencia a maneira de interpretar a existência matemática e o uso de certas regras lógicas. Em particular, não aceita sem restrições todos os princípios da lógica clássica, especialmente em contextos relacionados à existência e à infinitude.

Questão central: o que significa justificar matematicamente a existência de um objeto ou a verdade de uma proposição?

Comparando as perspectivas:

O platonismo enfatiza a existência independente dos objetos matemáticos. O formalismo destaca os sistemas de axiomas e regras. O intuicionismo enfatiza a construção e a justificação matemática. Cada abordagem procura explicar aspectos importantes da prática matemática, mas enfrenta desafios filosóficos próprios.

Não precisamos decidir imediatamente qual perspectiva está correta. O estudo dessas posições já nos ensina a formular perguntas mais precisas e a distinguir problemas que, inicialmente, parecem ser uma única questão.

08 — REALIDADE
Por que a matemática descreve tão bem o universo?

Existe outro problema que torna o debate ainda mais fascinante: a matemática é extraordinariamente eficaz na descrição de muitos fenômenos naturais.

As equações são utilizadas para modelar movimentos, ondas, campos físicos, órbitas e processos complexos. Relações matemáticas desenvolvidas em contextos abstratos podem encontrar aplicações em situações que os matemáticos originais não tinham em mente.

Isso levanta uma questão: por que estruturas matemáticas conseguem representar tantos aspectos do mundo físico?

A matemática e as leis da natureza

Quando formulamos um modelo físico, escolhemos grandezas, estabelecemos relações entre elas e construímos equações que representam determinados aspectos do fenômeno. Depois, comparamos as previsões do modelo com observações e experimentos.

O sucesso depende de vários fatores: a estrutura matemática escolhida, as hipóteses físicas, a qualidade das medições e o domínio de validade do modelo. Nem toda estrutura matemática descreve um fenômeno real, e nem todo modelo bem-sucedido funciona em todas as condições.

Mesmo assim, a eficácia da matemática permanece impressionante. Algumas estruturas abstratas revelam-se ferramentas poderosas para compreender aspectos do universo.

Para o platonista, esse sucesso pode ser interpretado como indício de que a matemática investiga estruturas reais que também aparecem na natureza. Outras perspectivas enfatizam que os seres humanos desenvolvem conceitos matemáticos a partir de problemas, regularidades e práticas de modelagem, selecionando ferramentas adequadas às situações que desejam compreender.

Essas interpretações não são equivalentes, e a eficácia da matemática não prova isoladamente nenhuma delas. O sucesso dos modelos físicos precisa ser explicado levando em conta tanto a estrutura matemática quanto as escolhas e evidências empíricas envolvidas.

O fato de uma teoria matemática descrever um fenômeno natural é uma conquista científica. Explicar por que essa correspondência é possível é também um problema filosófico. Reflexão sobre a relação entre matemática, ciência e realidade.

A pergunta permanece aberta: será que a matemática funciona porque descobrimos estruturas fundamentais do mundo ou porque desenvolvemos linguagens extraordinariamente eficazes para representar regularidades da realidade?

Talvez a resposta exija reconhecer que a relação entre mente, matemática e natureza é mais complexa do que uma oposição simples entre invenção e descoberta.

09 — SÍNTESE
O que podemos concluir?

Ao longo deste artigo, vimos que a pergunta sobre a origem dos números envolve diferentes problemas filosóficos. Precisamos distinguir a origem dos símbolos, a construção dos sistemas matemáticos, a validade das demonstrações e a existência dos objetos abstratos.

Os símbolos que usamos para representar números são convenções humanas. Os sistemas de axiomas e definições podem ser formulados de diferentes maneiras. Entretanto, uma vez estabelecidas as premissas e as regras de inferência, as conclusões precisam ser justificadas: não podemos torná-las válidas apenas porque desejamos que sejam verdadeiras.

O platonismo interpreta essa objetividade como sinal de que os objetos matemáticos existem independentemente de nós. O formalismo enfatiza a estrutura dos sistemas formais. O intuicionismo atribui importância especial à construção e à justificação dos objetos e resultados matemáticos.

Cada perspectiva ilumina uma dimensão do problema, e nenhuma deve ser tratada como uma resposta trivial. A discussão permanece relevante justamente porque a matemática reúne características que parecem apontar em direções diferentes: é uma atividade humana, historicamente desenvolvida, mas produz resultados que resistem às preferências individuais e permitem demonstrações rigorosas.

Conclusão — Entre a invenção e a descoberta

Os seres humanos inventaram símbolos, desenvolveram linguagens e construíram sistemas matemáticos. Essa dimensão criativa é inegável. Mas a matemática também envolve a investigação de consequências que não podemos determinar arbitrariamente depois que aceitamos certos pressupostos.

Será que isso significa que os números existem independentemente de nós? A resposta depende de questões filosóficas adicionais sobre a natureza dos objetos abstratos e as condições do conhecimento. A objetividade de uma demonstração, por si só, não encerra o debate.

Talvez a lição mais importante seja perceber que a pergunta inicial esconde vários problemas distintos. Inventar uma notação não é o mesmo que inventar uma verdade; construir uma teoria não significa escolher livremente todas as suas consequências; demonstrar uma proposição não resolve automaticamente a questão ontológica sobre os objetos matemáticos.

Ao investigar essas diferenças, compreendemos melhor a própria matemática. Aprendemos que o rigor exige não apenas calcular corretamente, mas também esclarecer conceitos, explicitar pressupostos e avaliar argumentos.

Se os números são descobertos, inventados ou compreendidos por meio de uma combinação mais complexa dessas atividades, essa é uma questão que merece investigação contínua.

E talvez seja justamente essa a beleza do problema: quanto mais profundamente examinamos a matemática, mais percebemos que até suas ideias mais elementares podem abrir caminho para algumas das perguntas mais importantes sobre a razão humana e o conhecimento.

Referências para aprofundamento

• Platão. A República. Especialmente o livro VII, sobre a educação intelectual e o papel da matemática.
• Euclides. Os Elementos. Obra fundamental para compreender o método axiomático e a demonstração geométrica.
• Russell, Bertrand. Introdução à Filosofia Matemática. Uma investigação sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
• Hilbert, David; Ackermann, Wilhelm. Principles of Mathematical Logic. Referência histórica para o estudo da lógica formal.
• Brouwer, L. E. J. Escritos sobre os fundamentos da matemática e o intuicionismo.
• Wigner, Eugene. “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” (1960). Um ensaio influente sobre a eficácia da matemática na descrição da natureza.

Nota editorial: as correntes apresentadas possuem diferentes versões e desenvolvimentos. Este artigo oferece uma introdução ao debate, sem pretender esgotar suas questões históricas e técnicas.