Duas ordens, um mesmo conjunto
Uma investigação matemática sobre concordância, conflito e a construção de novas estruturas ordenadas
O conceito de ordem aparece em praticamente todos os ramos da matemática. Podemos ordenar números, eventos, elementos de um conjunto, posições ou estados. Mas existe uma situação particularmente interessante: e se o mesmo conjunto puder ser organizado segundo duas ordens diferentes?
Nesse caso, não temos apenas uma estrutura ordenada. Temos duas perspectivas sobre os mesmos objetos. Elas podem concordar, podem deixar elementos incomparáveis ou podem até estabelecer relações opostas.
Este artigo parte dessa ideia para construir e investigar uma estrutura matemática simples: um conjunto munido de duas ordens parciais. A partir dela, introduziremos conceitos de concordância e conflito e procuraremos propriedades que possam ser demonstradas rigorosamente.
1. O ponto de partida
Seja V um conjunto não vazio. Suponhamos que existam duas relações de ordem parcial definidas sobre V. Denotaremos essas relações por ≺₁ e ≺₂.
Chamaremos 𝒟 de estrutura duplamente ordenada. A primeira ordem representa uma forma de organizar os elementos de V, enquanto a segunda representa uma organização independente sobre o mesmo conjunto.
Uma estrutura 𝒟 = (V, ≺₁, ≺₂) é uma estrutura duplamente ordenada quando ≺₁ e ≺₂ são relações de ordem parcial sobre V.
2. Quando duas ordens concordam?
Considere dois elementos distintos x,y ∈ V. Podemos ter quatro situações fundamentais.
| Situação | Primeira ordem | Segunda ordem |
|---|---|---|
| Concordância | x ≺₁ y | x ≺₂ y |
| Conflito | x ≺₁ y | y ≺₂ x |
| Assimetria | x ≺₁ y | x e y incomparáveis |
| Ausência | x e y incomparáveis | x e y incomparáveis |
Essa classificação sugere que podemos separar a informação produzida pelas duas ordens em diferentes níveis.
3. A ordem de consenso
Uma maneira natural de extrair apenas aquilo que as duas ordens afirmam simultaneamente é considerar a interseção das relações.
Equivalentemente:
A relação ≺C será chamada de ordem de consenso. Ela contém apenas as relações aceitas pelas duas ordens.
Se ≺₁ e ≺₂ são ordens parciais sobre V, então ≺C = ≺₁ ∩ ≺₂ também é uma ordem parcial sobre V.
Demonstração.
Como ≺₁ e ≺₂ são ordens parciais, ambas são irreflexivas e transitivas.
Suponha que:
Pela definição de ≺C, temos simultaneamente:
Pela transitividade de ≺₁:
Pela transitividade de ≺₂:
Logo:
Portanto, ≺C é transitiva.
Além disso, se tivéssemos x ≺C x, teríamos simultaneamente x ≺₁ x e x ≺₂ x, contradizendo a irreflexividade das duas relações.
Assim, ≺C é uma ordem parcial.
4. Medindo o conflito
A interseção nos mostra onde as duas ordens concordam. Mas podemos fazer o movimento contrário e procurar exatamente os pares nos quais elas discordam.
O conjunto Γ(𝒟) é o conjunto dos pares ordenados para os quais as duas ordens estabelecem orientações opostas.
Quando V é finito, podemos ainda definir um número associado à estrutura:
Chamaremos κ(𝒟) de índice de conflito.
5. Um primeiro problema
Agora chegamos a uma pergunta que parece natural:
Se duas ordens parciais não possuem conflitos, isto é,
então a união
seria uma ordem parcial.
À primeira vista, a conjectura parece plausível. Se as duas ordens nunca dizem diretamente que x deve vir antes de y e que y deve vir antes de x, por que a união não seria também uma ordem?
Entretanto, a matemática exige mais do que ausência de contradições diretas. Precisamos verificar a transitividade.
6. O problema da transitividade
Considere três elementos a, b e c. Suponha que a primeira ordem forneça:
enquanto a segunda forneça:
Então a união contém:
Para que ≺U seja uma ordem parcial, precisamos necessariamente ter:
Mas essa relação não precisa pertencer a nenhuma das duas ordens originalmente. A ausência de conflito não garante, por si só, a existência dessa terceira relação.
Isso mostra que consistência local não implica necessariamente fechamento transitivo global. Uma estrutura pode não possuir nenhuma contradição direta e, ainda assim, sua união pode deixar de ser transitiva.
7. Um contraexemplo mínimo
Considere:
Definamos:
e:
Cada relação, isoladamente, é uma ordem parcial. Além disso, não existe conflito:
Porém:
mas:
Logo, a união não é transitiva.
A condição κ(𝒟) = 0 não é suficiente para garantir que ≺₁ ∪ ≺₂ seja uma ordem parcial.
8. Uma nova pergunta nasce do contraexemplo
O contraexemplo não destrói nossa investigação. Na realidade, ele nos dá algo muito mais útil: uma pista sobre a condição que estava faltando.
O problema não era a existência de conflito. O problema era a ausência de fechamento transitivo.
Isso sugere que devemos procurar uma condição mais forte.
Se a união
for transitiva e não possuir ciclos, então R será uma ordem parcial.
Essa afirmação parece quase imediata, mas ela é importante porque transforma a questão em um problema estrutural: quais propriedades das duas ordens garantem que sua união seja transitiva?
9. Fechamento transitivo
Mesmo quando a união não é uma ordem, podemos tentar repará-la. Para isso, introduzimos o conceito de fechamento transitivo.
denota o menor conjunto de pares que contém R e é transitivo.
No exemplo anterior:
Seu fechamento transitivo acrescenta:
e produz:
Temos, portanto, uma operação natural:
10. Uma estrutura de consenso ampliado
Isso nos conduz a uma construção mais interessante. Em vez de exigir que as duas ordens já sejam compatíveis, podemos perguntar se a união delas possui um fechamento transitivo que continue sendo acíclico.
Quando o fechamento transitivo de ≺₁ ∪ ≺₂ não produz ciclos, definimos:
e chamamos ≺T de ordem de consenso transitivo.
Se o fechamento transitivo de ≺₁ ∪ ≺₂ é irreflexivo, então TC(≺₁ ∪ ≺₂) é uma ordem parcial.
Demonstração.
Por construção, o fechamento transitivo é transitivo.
Por hipótese, ele é irreflexivo.
Uma relação transitiva e irreflexiva é uma ordem estrita parcial. Logo, TC(≺₁ ∪ ≺₂) é uma ordem parcial.
11. O que aprendemos?
Nossa investigação começou com duas ordens independentes:
A partir delas encontramos duas operações naturais.
representa aquilo em que as duas ordens concordam diretamente.
representa aquilo que pode ser obtido quando combinamos as duas ordens e exigimos fechamento transitivo, desde que não surjam ciclos.
| Construção | Interpretação |
|---|---|
| ≺₁ ∩ ≺₂ | Concordância direta |
| TC(≺₁ ∪ ≺₂) | Concordância transitivamente ampliada |
12. Conclusão: a matemática começa onde termina a intuição
O objetivo inicial parecia simples: colocar duas ordens sobre o mesmo conjunto. Mas essa pequena mudança produz uma estrutura rica o suficiente para levantar novos problemas.
Descobrimos que a ausência de conflitos diretos não garante que duas ordens possam simplesmente ser unidas. O obstáculo pode aparecer em um nível mais profundo: a transitividade.
O contraexemplo mínimo com três elementos mostra justamente isso. Ele nos obriga a substituir uma conjectura intuitiva por uma investigação estrutural.
A partir daqui surgem várias perguntas matemáticas naturais:
- Quais condições necessárias e suficientes garantem que ≺₁ ∪ ≺₂ seja uma ordem parcial?
- Qual é a relação entre o índice de conflito κ(𝒟) e a existência de ciclos?
- Podemos definir uma medida de concordância complementar ao índice de conflito?
- Qual é a menor quantidade de relações necessárias para transformar a união em uma ordem?
- Existem classes de estruturas duplamente ordenadas que admitem uma caracterização completa?
Mais importante, o processo revela uma característica essencial da matemática: uma conjectura falsa não representa necessariamente um fracasso.
Um contraexemplo pode ser exatamente o objeto que nos mostra qual pergunta devemos fazer em seguida.
Nossa estrutura começou com apenas três componentes:
Mas dela já surgiram novas relações, novos invariantes e novos problemas.
É nesse ponto que uma definição deixa de ser apenas uma definição e começa a funcionar como uma verdadeira máquina de produzir matemática.
Estruturas ordenadas · Conjuntos · Relações
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