Panorama de crivos: Brun, Selberg e o problema da paridade.

Panorama de Crivos: Brun, Selberg e o Problema da Paridade

Introdução aos Crivos

O estudo de primos gêmeos está intimamente ligado aos métodos de crivo, que são uma das ferramentas analíticas mais poderosas da teoria dos números. A filosofia básica de um crivo é estimar o tamanho de um conjunto de inteiros removendo sistematicamente aqueles divisíveis por primos pequenos.

Formalmente, dado um conjunto $A \subset \mathbb{N}$ e um conjunto de primos $P$, define-se:

$$S(A, P, z) = \{ n \in A : \gcd(n, P(z)) = 1 \}, \quad P(z) = \prod_{p < z} p$$

A análise desses conjuntos fornece informações sobre a distribuição de primos e constelações de primos, como os primos gêmeos.

Crivo de Brun e o Primeiro Avanço

Em 1919, Viggo Brun introduziu o primeiro crivo sistemático capaz de atacar o problema dos primos gêmeos. Seu resultado histórico é o Teorema de Brun, que afirma que a série dos recíprocos dos primos gêmeos converge:

$$\sum_{\substack{p \text{ primo} \\ p+2 \text{ primo}}} \frac{1}{p} < \infty$$

Esse resultado foi revolucionário, pois demonstrou que, embora os primos gêmeos sejam conjecturalmente infinitos, eles são raros em comparação com todos os primos. A constante associada a essa soma é conhecida como Constante de Brun $B_2$.

Esboço da demonstração: Brun aplicou um crivo combinatório baseado em inclusão-exclusão em pares de inteiros, truncando a expansão de forma controlada. Isso gerou limites superiores e inferiores para a função de contagem de primos gêmeos $\pi_2(x)$, mostrando decaimento suficiente para a convergência da série.

Crivo de Selberg e Refinamentos

No meio do século XX, Atle Selberg introduziu um crivo baseado em um princípio variacional, que produzia limites superiores mais limpos e era “independente de dimensão”.

Para primos gêmeos, o crivo de Selberg leva a limites superiores do tipo:

$$\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2}$$

Isso é consistente com a heurística de Hardy–Littlewood, mas ainda não fornece limite inferior para provar infinitude.

Esboço da demonstração: Selberg utiliza pesos não-negativos $\lambda_d$ para minimizar o erro na estimativa de conjuntos crivados. Construindo a forma quadrática:

$$Q(\lambda) = \sum_{d,e} \lambda_d \lambda_e \frac{|A[d,e]|}{|A|}$$

e escolhendo $\lambda_d$ para minimizar $Q$, obtêm-se os limites superiores ótimos para $\pi_2(x)$.

O Problema da Paridade

Apesar da força dos crivos, existe uma limitação estrutural conhecida como problema da paridade: os métodos de crivo não conseguem distinguir números com número ímpar ou par de fatores primos. Isso impede que os crivos provem diretamente a infinitude de primos gêmeos ou primos da forma $n^2+1$.

Exemplo: qualquer limite superior obtido via crivo possui um limite inferior “dual” da mesma ordem, mas deslocado pelo obstáculo da paridade. Assim, podemos provar:

$$\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2}$$

mas não

$$\pi_2(x) \gg \frac{x}{(\ln x)^2}$$

sem informações analíticas adicionais.

Conexão com Hardy–Littlewood

A heurística de Hardy–Littlewood (HL2) fornece uma previsão refinada:

$$\pi_2(x) \sim 2 C_2 \operatorname{Li}_2(x)$$

onde $\operatorname{Li}_2(x) = \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}$ e $C_2$ é a constante dos primos gêmeos.

Nota: HL2 integra fatores locais de pequenos primos e assume independência “quase perfeita” dos números. Isso fornece uma estimativa para a densidade de primos gêmeos, mas não resolve o problema da paridade.

                                          fonte: autor - >  https://colab.research.google.com/#scrollTo=C4HZx7Gndbrh
                                       

Conclusão da Seção

Os métodos de Brun e Selberg forneceram limites superiores essenciais e introduziram os obstáculos do problema da paridade, enquanto a heurística de Hardy–Littlewood oferece estimativas detalhadas de densidade relativa e crescimento de $\pi_2(x)$.