Os mistérios dos primos gêmeos: Densidade relativa, heurísticas e perspectivas analíticas.

Autor: Marcelo Fontinele (projeto de tese em colaboração)

1. Introdução

Os números primos gêmeos — pares de primos $(p, p+2)$ — ocupam papel central na teoria dos números, conectando técnicas de crivo, análises heurísticas e conjecturas profundas. Embora a Conjectura dos Primos Gêmeos (infinitude de pares) permaneça em aberto, desenvolvimentos modernos (como os métodos GPY, Zhang, Maynard–Tao e refinamentos de crivos) reconfiguraram nosso entendimento da distribuição de lacunas entre primos.

Este trabalho propõe um estudo acadêmico focado em: (i) formalização e propriedades básicas; (ii) noção de densidade relativa em intervalos crescentes e entre primos; (iii) heurísticas do tipo Hardy–Littlewood; (iv) panorama de resultados clássicos (Brun, Selberg, Chen) e modernos; (v) um plano analítico–computacional para verificação empírica das previsões.

2. Definições e Notação

1. Primos gêmeos. Um par $(p, p+2)$ com ambos primos. Denotaremos por $\pi_2(x)$ a função de contagem:
   $\pi_2(x) := \#\{\,p \le x : p,\; p+2\ \text{são primos}\,\}.$

2. Primos e contagem usual. $\pi(x) := \#\{p \le x\}$ é a função de contagem de primos.

3. Constante dos primos gêmeos. $C_2 := \prod_{p\ge 3} \dfrac{p(p-2)}{(p-1)^2}$ (produto tomado sobre todos os primos $p\ge3$).

4. Integral de segunda ordem (forma “Li₂”). Defina
   $\operatorname{Li}_2(x) := \int_{2}^{x} \frac{dt}{(\ln t)^2}.$
   Esta notação é conveniente para enunciar a forma integral da conjectura de Hardy–Littlewood.

Observação (forma 6n±1). Todo primo $p>3$ satisfaz $p\equiv \pm 1 \pmod 6$. Logo, exceto o par $(3,5)$, todo par gêmeo tem a forma $(6n-1,\;6n+1)$.

3. Densidades: natural, relativa e logarítmica

3.1. Densidade natural entre os inteiros

A densidade natural dos primos gêmeos no conjunto dos inteiros até $x$ é $\pi_2(x)/x$. Resultados de crivo (e heurísticas) sugerem que $\pi_2(x)$ está da ordem de $x/(\ln x)^2$. Em particular,
$\frac{\pi_2(x)}{x} \asymp \frac{1}{(\ln x)^2} \to 0 \quad (x\to\infty).$
Logo, a densidade natural é zero.

3.2. Densidade relativa entre os primos

É útil medir a frequência de pares gêmeos condicionada ao fato de estarmos “dentro” dos primos. Considere
$\Delta\pi(x;h) := \pi(x+h) - \pi(x), \quad \Delta\pi_2(x;h) := \pi_2(x+h) - \pi_2(x).$
A densidade relativa local dos gêmeos em $(x, x+h]$ entre os primos é
$\mathcal{R}(x;h) := \frac{\Delta\pi_2(x;h)}{\Delta\pi(x;h)}.$
Heuristicamente (usando $\pi(x)\sim x/\ln x$) e as previsões de Hardy–Littlewood (Seção 4), espera-se que, para janelas $h$ não muito pequenas,
$\mathcal{R}(x;h) \sim \frac{2C_2}{\ln x} \quad (x\to \infty).$
Isto revela um decaimento lento (de ordem $1/\ln x$) na proporção de pares gêmeos entre os primos na altura $x$.

3.3. Densidade logarítmica

Uma noção alternativa é ponderar por $1/n$. Considere a soma dos recíprocos sobre os pares gêmeos (constante de Brun):
$B_2 := \sum_{\substack{p\;\text{gêmeo}}} \Big( \frac{1}{p} + \frac{1}{p+2} \Big) < \infty.$
A convergência de $B_2$ implica que, mesmo sob ponderação logarítmica, a contribuição dos gêmeos é “escassa”; em particular, a densidade logarítmica do indicador de gêmeos também é zero. Isso formaliza a ideia de que os primos gêmeos são raros em qualquer noção global de densidade.

4. Heurística de Hardy–Littlewood (Conjectura HL(2))

A Conjectura HL(2) prediz
$\boxed{\;\pi_2(x) \sim 2\,C_2\,\operatorname{Li}_2(x)\;}\quad (x\to \infty),$
onde $C_2$ é a constante dos gêmeos. Expandindo $\operatorname{Li}_2(x)$ por integração por partes obtém-se a forma mais simples
$\pi_2(x) \sim \frac{2 C_2\, x}{(\ln x)^2}\Big(1 + O\big(\tfrac{1}{\ln x}\big)\Big).$

4.1. “Fatores locais” e o produto de correção

A heurística nasce do princípio de independência modulado por correções locais: para cada primo $q$, a probabilidade de que $n$ e $n+2$ não sejam múltiplos de $q$ é ajustada e, multiplicando-se sobre todos os $q$, obtém-se o produto de correção que define $C_2$. Em símbolos,
$C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} = \prod_{p\ge 3} \Big(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\Big).$

4.2. Previsões locais (janelas)

Para janelas $(x, x+h]$ com $h$ “moderadamente grandes” (e.g. $h\ge (\ln x)^{2+\varepsilon}$), espera-se
$\Delta\pi_2(x;h) \approx \frac{2 C_2\,h}{(\ln x)^2}.$
Um modelo de Poisson com média $\mu=\tfrac{2C_2 h}{(\ln x)^2}$ fornece previsão para variação e flutuações, embora isso não esteja provado rigorosamente.

5. Resultados Clássicos e Modernos Relacionados

1. Teorema de Brun (1919). A soma dos recíprocos dos primos gêmeos converge: $B_2<\infty$. Consequência: os gêmeos são ainda mais raros que os primos “em média”.

2. Crivos de Selberg e de Brun. Fornecem limites superiores do tipo
   $\pi_2(x) \ll \frac{x}{(\ln x)^2},$
   compatíveis com HL(2), mas não produzem limites inferiores na mesma ordem para gêmeos (o chamado parity problem do crivo).

3. Teorema de Chen (1973). Existem infinitos primos $p$ tais que $p+2$ é primo ou o produto de dois primos (um P_2). Ou seja, “quase gêmeos” infinitos.

4. Lacunas limitadas entre primos. Métodos GPY (Goldston–Pintz–Yıldırım), avanço de Zhang (2013), e simplificações/força de Maynard–Tao implicam que existem infinitas lacunas primárias limitadas ($p_{n+1}-p_n\le H$ para algum $H$). Isso dá forte evidência indireta a HL(2), embora não prove $H=2$.

6. Densidade Relativa em Intervalos Crescentes

Estudamos dois regimes:

6.1. Janelas aditivas: $(x, x+h]$

Defina a densidade aditiva local
$D_{\text{add}}(x;h) := \frac{\Delta\pi_2(x;h)}{h}.$
Heuristicamente, para $(\ln x)^{2+\varepsilon} \ll h \le x^{1-\varepsilon}$,
$D_{\text{add}}(x;h) \approx \frac{2 C_2}{(\ln x)^2}.$
O termo de erro esperado é do tamanho $\sim h/(\ln x)^3$, com flutuações de ordem $\sqrt{\mu}$ no modelo de Poisson.

6.2. Janelas multiplicativas: $[x, (1+\theta)x]$

Para $0<\theta\le 1$ fixo e grande $x$,
$\Delta\pi_2\big(x; \theta x\big) := \pi_2\big((1+\theta)x\big)-\pi_2(x) \approx 2C_2\,\frac{\theta x}{(\ln x)^2}.$
A densidade relativa entre primos nessa faixa é
$\mathcal{R}\big(x;\theta x\big) \approx \frac{2 C_2}{\ln x},$
reiterando o decaimento $1/\ln x$.

6.3. Densidade condicional por congruências

A heurística HL incorpora fatores locais por módulo pequeno (e.g. 3, 5, 7), refletindo que pares $(n,n+2)$ são automaticamente excluídos quando, por exemplo, $n\equiv 0\pmod 3$ (salvo $(3,5)$). Essas exclusões produzem exatamente o produto $C_2$.

7. Proposta Heurística (H*) e Métricas de Erro

7.1. Enunciado (H*)

Há uma constante absoluta $C_2$ (a constante dos gêmeos) tal que
$\pi_2(x) = 2C_2\,\operatorname{Li}_2(x) + E(x),$
com termo de erro satisfazendo, para todo $\varepsilon>0$,
$E(x) = O\Big(\frac{x}{(\ln x)^{2+\varepsilon}}\Big),$
uniformemente em janelas $h$ com $(\ln x)^{2+\varepsilon} \ll h \le x^{1-\varepsilon}$:
$\Delta\pi_2(x;h) = \frac{2C_2\,h}{(\ln x)^2} + O\Big(\frac{h}{(\ln x)^{2+\varepsilon}}\Big).$

Comentário. H* é compatível com HL(2) e postula um controle suave do erro médio em janelas “não muito pequenas”, permitindo estudar flutuações locais.

7.2. Métricas de avaliação

1. Razão principal: $\rho(x) := \dfrac{\pi_2(x)}{2C_2\,\operatorname{Li}_2(x)}.$

2. Erro relativo local: $\varepsilon(x;h) := \dfrac{\Delta\pi_2(x;h)}{\tfrac{2C_2 h}{(\ln x)^2}} - 1.$

3. Normalização de variância: comparar $\operatorname{Var}[\Delta\pi_2]$ com a média prevista $\mu$ (teste de “quase-Poisson”).

8. Metodologia Analítico–Computacional (Plano Empírico)

1. Geração de primos e contagem de gêmeos. Implementar crivo de Eratóstenes segmentado até limites crescentes (e.g. $10^6,10^7,10^8$).

2. Estimadores principais. Calcular $\pi_2(x)$, $\Delta\pi_2(x;h)$ para múltiplos $h$ (aditivos e multiplicativos), $\rho(x)$ e $\varepsilon(x;h)$.

3. Ajustes de regressão. Ajustar $\pi_2(x)$ a $\alpha\,x/(\ln x)^2$ e comparar $\hat\alpha$ com $2C_2$.

4. Testes de robustez. Variar janelas $h$, usar bootstrapping de blocos para variância, e comparar com $\sqrt{\mu}$.

5. Visualizações. Curvas de $\rho(x)$, heatmaps $x\times h$ de $\varepsilon(x;h)$, histogramas de contagens locais.

Nota prática. Para $x$ grandes, usar armazenamento/streaming por blocos e crivo segmentado; para $h$ pequenos, a variância domina e exige amostragem repetida de janelas.

9. Limitações Teóricas e Obstáculos

• Problema da paridade no crivo: impede, via crivos “puros”, deduzir limites inferiores da ordem $x/(\ln x)^2$.

• Curto alcance: resultados em intervalos muito curtos estão além das técnicas atuais (mesmo sob hipóteses fortes).

• Dependência de modelos: previsões do tipo Poisson assumem quase-independência não demonstrada rigorosamente.

10. Conclusões Parciais

A análise de densidades mostra que primos gêmeos têm densidade global nula, mas uma densidade relativa previsível em janelas amplas, decaindo como $1/\ln x$ entre os primos e como $1/(\ln x)^2$ entre os inteiros. A heurística HL(2) — encapsulada aqui na Proposta (H*) — fornece uma lei de crescimento elegante, consistente com crivos clássicos e com a fenomenologia moderna das lacunas entre primos. O teste empírico planejado pretende quantificar o quão cedo essas leis começam a ser observáveis e como flutuações se organizam.

Referências essenciais (clássicas e modernas)

• V. Brun (1919): introduz o crivo de Brun; prova da convergência de $B_2$.

• G.H. Hardy & J.E. Littlewood (1923): Conjecturas sobre distribuições de primos (HL(2)).

• A. Selberg: desenvolvimento do crivo de Selberg e limites superiores.

• J.R. Chen (1973): Teorema de Chen sobre $P_2$.

• D.A. Goldston, J. Pintz, C.Y. Yıldırım (2005): método GPY.

• Y. Zhang (2013): lacunas $\le 7\times 10^7$ (posteriormente reduzidas por colaborações).

• J. Maynard (2015) e T. Tao (Polymath8): novos métodos de crivo para k-tuplas.