Esboço do produto de Hardy–Littlewood — derivação dos fatores locais

Objetivo: justificar heurística que leva ao fator local

$$L_p \;=\; \frac{1-\nu(p)/p}{(1-1/p)^2}$$

no caso dos primos gêmeos (e, mais geralmente, a fórmula do singular series para $k$-tuplas), e mostrar como isso conduz à constante dos primos gêmeos $2C_2$ em $\pi_2(x)\sim 2C_2\operatorname{Li}_2(x)$.

Modelo probabilístico básico

• Heurística elementar: a probabilidade heurística de um inteiro $n$ ser primo, para $n$ grande, é aproximadamente

  $$\mathbb{P}(n\ \text{é primo}) \approx \frac{1}{\ln n}.$$

• Se assumirmos (apenas heurísticamente) independência entre os eventos “$n$ é primo” e “$n+2$ é primo”, obteríamos a estimativa ingênua

  $$\mathbb{P}(n,\ n+2\ \text{são primos}) \approx \frac{1}{(\ln n)^2}.$$

• Essa estimativa ignora obstruções locais (módulos pequenos). O produto de Hardy–Littlewood ajusta essa probabilidade multiplicando por fatores locais $L_p$ (um para cada primo $p$) que compensam as restrições modulares.

Contagem de obstruções modulares para um primo $p$

Considere um primo $p$. Para que tanto $n$ quanto $n+2$ não sejam divisíveis por $p$, $n$ deve evitar um certo conjunto de residúos modulo $p$. Seja

$$\mathcal{A}_p \;=\; \{ a \pmod p \;:\; a\equiv -h \pmod p \text{ para algum deslocamento } h\in\{0,2\} \}.$$

Defina $\nu(p)=|\mathcal{A}_p|$ — o número de classes proibidas modulo $p$.

• Para os primos gêmeos (deslocamentos $\{0,2\}$):

  • Se $p>2$, as congruências $n\equiv 0\pmod p$ e $n\equiv -2\pmod p$ são duas classes distintas, logo $\nu(p)=2$.

  • Se $p=2$, então $2\mid 2$ e as duas condições coincidem modulo $2$, logo $\nu(2)=1$.

A probabilidade (aleatória sobre $n$ modulo $p$) de que nenhum dos dois números seja múltiplo de $p$ é

$$\mathbb{P}_p(\text{nenhum múltiplo de }p) \;=\; 1 - \frac{\nu(p)}{p}.$$

Por outro lado, sob o modelo “independência local” sem correção, a probabilidade de que $n$ não seja múltiplo de $p$ e $n+2$ não seja múltiplo de $p$ seria $(1-1/p)^2$. Portanto o fator de correção local é a razão:

$$L_p \;=\; \frac{1-\nu(p)/p}{(1-1/p)^2}.$$

Cálculo explícito no caso dos primos gêmeos

• Para $p>2$: $\nu(p)=2$. Assim

  $$L_p \;=\; \frac{1-\tfrac{2}{p}}{(1-\tfrac{1}{p})^2} \;=\; \frac{\tfrac{p-2}{p}}{\tfrac{(p-1)^2}{p^2}} \;=\; \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}.$$

  Observe também a identidade alternativa

  $$\frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \;=\; 1 - \frac{1}{(p-1)^2}.$$

• Para $p=2$: $\nu(2)=1$. Logo

  $$L_2 \;=\; \frac{1-\tfrac{1}{2}}{(1-\tfrac{1}{2})^2} \;=\; \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}} \;=\; 2.$$

Multiplicando todos os fatores locais (produto sobre todos os primos $p$) obtemos o singular series para o par $(0,2)$:

$$\mathfrak{S}_{\{0,2\}} \;=\; \prod_{p} L_p = L_2 \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} = 2\prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}.$$

Definindo a constante usual dos “gêmeos” como

$$C_2 := \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2},$$

temos o fator total $\mathfrak{S}_{\{0,2\}} = 2 C_2$. É desse produto que surge o fator $2C_2$ na previsão de Hardy–Littlewood

    

$$\pi_2(x) \sim 2C_2 \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^2}.$$

(Numericamente $C_2\approx 0.6601618$, portanto $2C_2\approx 1.3203236$.)

Interpretação e convergência do produto

• Para primos grandes $p$, $\nu(p)$ é limitada (no caso do par $(0,2)$, $\nu(p)=2$ para todos $p>2$), e o fator $L_p\to 1$ quando $p\to\infty$. A convergência do produto decorre do fato de que

  $$L_p = 1 + O\!\Big(\frac{1}{p^2}\Big),$$

  e $\sum_p 1/p^2$ converge, logo o produto infinito converge (absolutamente).

• O papel de $L_p$ é compensar a diferença entre:

  • a probabilidade real que “nenhum dos membros do tuplo é divisível por $p$”, e

  • a probabilidade prescrita pelo modelo independente $(1-1/p)^k$ (no caso $k=2$).

Generalização: $k$-tuplas e o singular series

Sejam offsets $\mathcal{H}=\{h_1,\dots,h_k\}$. Para um primo $p$, defina $\nu_{\mathcal{H}}(p)$ o número de classes distintas

$$\{ -h_1,\dots,-h_k\} \pmod p,$$

ou seja, quantas classes mod $p$ tornam algum membro do tuplo múltiplo de $p$. O fator local para o tuplo é

$$L_p(\mathcal{H}) \;=\; \frac{1-\nu_{\mathcal{H}}(p)/p}{(1-1/p)^k}.$$

O produto

$$\mathfrak{S}_{\mathcal{H}} \;=\; \prod_p L_p(\mathcal{H})$$

é o singular series associado. A conjectura de Hardy–Littlewood para $k$-tuplas diz que, se $\mathcal{H}$ for admissível (i.e. para todo primo $p$ temos $\nu_{\mathcal{H}}(p) < p$), então

$$\#\{n\le x:\ n+h_1,\dots,n+h_k\ \text{são todos primos}\} \;\sim\; \mathfrak{S}_{\mathcal{H}} \int_2^x \frac{dt}{(\ln t)^k}.$$

No caso dos primos gêmeos $k=2,\ \mathcal{H}=\{0,2\}$, recuperamos o resultado anterior com $\mathfrak{S}_{\{0,2\}}=2C_2$.

Observações sobre a heurística e limites da derivação

1. Não é uma prova. A dedução usa suposições de tipo probabilístico e independência aproximada entre condições de primalidade para diferentes módulos; essas suposições não são justificadas rigorosamente pelas técnicas atuais — por isso HL permanece conjectura.

2. Problema da paridade. Métodos de crivo tradicionais têm dificuldades em produzir resultados que mostrem existência de tuplos primos na ordem prevista (parity problem).

3. Validade empírica. Apesar da ausência de prova, a predição de Hardy–Littlewood (com o singular series) fornece excelentes previsões numéricas para contagens de k-tuplas em larga escala — por isso é a heurística padrão.