Integrais duplas sobre regiões gerais

1. Introdução

Na disciplina de Cálculo, muitos alunos se deparam com a ideia de “somar infinitos valores” para obter áreas ou volumes. Isso já acontece na integral simples, mas quando avançamos para funções de duas variáveis, surge a integral dupla, uma ferramenta poderosa para calcular áreas, volumes, centros de massa, distribuições de probabilidade e muito mais.

A ideia central é simples: enquanto a integral simples acumula valores sobre um intervalo de reta, a integral dupla acumula valores sobre uma região no plano.

2. Definição formal

Seja $f(x,y)$ uma função definida em uma região $R \subset \mathbb{R}^2$. Dividimos $R$ em pequenas partes $\Delta A_{ij}$ (pequenos retângulos ou sub-regiões), escolhemos um ponto amostral $(x_{ij}^*,y_{ij}^*)$ em cada uma delas e somamos:

$$\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A_{ij}$$

Quando o tamanho máximo dessas subdivisões tende a zero, obtemos a integral dupla:

$$\iint_{R} f(x,y)\, dA = \lim_{\|P\|\to 0} \sum_{i,j} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A_{ij}.$$

3. Regiões de integração

As regiões $R$ podem ser de diferentes tipos:

• Retangulares: $R = [a,b]\times[c,d]$.

• Tipo I (limitadas verticalmente):

$$R = \{(x,y)\ |\ a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$$

• Tipo II (limitadas horizontalmente):

$$R = \{(x,y)\ |\ c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$$

Essa distinção é fundamental, pois os limites da integral mudam de acordo com a descrição da região.

4. Teorema de Fubini

Se $f(x,y)$ é contínua em uma região fechada e limitada $R$, podemos trocar a ordem de integração:

$$\iint_R f(x,y)\, dA = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\, dy \right) dx = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\, dx \right) dy$$

Esse resultado é o Teorema de Fubini, essencial para calcular integrais duplas.

5. Exemplo 1: Área de uma região delimitada por curvas

Calcular a área da região $R$ limitada pela parábola $y = x^2$ e pela reta $y = 4$.

Solução:
A área é dada por:

$$A = \iint_R 1 \, dA$$

Descrita como Tipo I:

$$R = \{ (x,y)\ |\ -2 \leq x \leq 2,\ x^2 \leq y \leq 4 \}$$

Portanto,

$$A = \int_{-2}^2 \int_{x^2}^4 1\, dy \, dx$$

Calculando:

$$A = \int_{-2}^2 \left[ y \right]_{y=x^2}^{y=4} dx = \int_{-2}^2 (4 - x^2)\, dx$$ $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$$ $$A = \frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3}.$$

6. Exemplo 2: Área de um círculo via coordenadas polares

Queremos calcular a área do círculo de raio $R$.

$$A = \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} 1 \, dA$$

Em coordenadas polares, $x = r\cos\theta, \ y = r\sin\theta$ e $dA = r\,dr\,d\theta$.

Logo:

$$A = \int_0^{2\pi} \int_0^R r\,dr\,d\theta$$ $$A = \int_0^{2\pi} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^R d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{R^2}{2} \, d\theta$$ $$A = \frac{R^2}{2}(2\pi) = \pi R^2.$$

7. Mudança de variáveis e jacobiano

Para regiões mais complicadas, usamos transformações de coordenadas.

Se $(x,y) = T(u,v)$, então:

$$\iint_R f(x,y)\, dA = \iint_{R'} f(x(u,v), y(u,v)) \, \left| \det J(u,v) \right|\, dudv$$

onde $J(u,v)$ é a matriz jacobiana da transformação.

Exemplo:

• Para coordenadas polares,

$$J(r,\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}, \quad \det J = r.$$

8. Aplicações avançadas

• Engenharia Civil: cálculo de carga distribuída em lajes de formato irregular.

• Física: determinação de centros de massa e momentos de inércia.

• Probabilidade: densidade conjunta de variáveis aleatórias (probabilidade em regiões não retangulares).

9. Conclusão

As integrais duplas são mais do que uma técnica de cálculo — são uma forma de enxergar a geometria do espaço bidimensional de maneira analítica. O poder de transformar problemas geométricos em expressões integrais abre caminho para aplicações em praticamente todas as ciências exatas.