Algumas questões sobre variáveis complexas.

 Algumas questões sobre variáveis complexas

  

Questão 1

$$\frac{(2+2i{)}^3}{1+i}$$

1. Calcular $(2 + 2i)^3$

Primeiro, podemos simplificar:

$$2 + 2i = 2(1+i)$$

Logo:

$$(2 + 2i)^3 = [2(1+i)]^3 = 2^3 (1+i)^3 = 8(1+i)^3$$

Agora, expandindo $(1+i)^3$:

$$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$$ $$(1+i)^3 = (1+i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i$$

Então:

$$(2+2i)^3 = 8(-2 + 2i) = -16 + 16i$$

2. Divisão por $(1+i)$

$$\frac{-16 + 16i}{1+i}$$

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado $(1-i)$:

$$\frac{(-16+16i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{(-16+16i)(1-i)}{1 - i^2} = \frac{(-16+16i)(1-i)}{2}$$

Agora, expandindo o numerador:

$$(-16+16i)(1-i) = -16(1-i) + 16i(1-i)$$ $$= -16 + 16i + 16i -16i^2$$ $$= -16 + 32i + 16$$ $$= 32i$$

Então:

$$\frac{32i}{2} = 16i$$

Resultado Final:

$$\frac{(2 + 2i)^3}{1 + i} = 16i$$

Questão 2

Qual valor corresponde à distância entre os números z = 1 e w = i?

A distância entre dois números complexos $z$ e $w$ é dada por

$$d(z, w) = |z - w|$$

Aqui:

$$z = 1 \quad \text{e} \quad w = i$$

Então:

$$z - w = 1 - i$$

O módulo é:

$$|1 - i| = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Logo, a distância entre $z = 1$ e $w = i$ é:

$$\sqrt{2}$$

Questão 3

Qual é o valor da integral ${\oint }_{\gamma }\tan (z)dz$ tal que $\gamma$ é o círculo tal que $|z|=2$?

 Com$\displaystyle \oint_{\gamma}\tan z\,dz$ com $\gamma\colon |z|=2$ orientado positivamente.

1 Locais singulares de $\tan z$

$$\tan z=\frac{\sin z}{\cos z},$$

portanto os polos são os zeros de $\cos z$:

$$z_k=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

Numérico: $\pm\frac{\pi}{2}\approx\pm1{,}5708$ (dentro do disco $|z|<2$); os próximos $\pm\frac{3\pi}{2}\approx\pm4{,}712$ estão fora.
Portanto os polos dentro de $|z|=2$ são $z=\pi/2$ e $z=-\pi/2$.

2 Tipo dos polos

Zeros de $\cos z$ em $z_k$ são simples porque $\cos'(z)=-\sin z$ e $\sin(z_k)=\pm1\neq0$. Logo cada polo é simples.

3 Cálculo da resídua num polo simples

Se $f=\dfrac{g}{h}$ com $h(z_0)=0,\ h'(z_0)\neq0$, então

$$\operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.$$

Aqui $g(z)=\sin z,\ h(z)=\cos z$. Assim, em $z_0$ qualquer zero simples de $\cos$:

$$\operatorname{Res}(\tan,z_0)=\frac{\sin z_0}{\cos'(z_0)}=\frac{\sin z_0}{-\,\sin z_0}=-1.$$

(Verificação: para $z_0=\pi/2$, $\sin z_0=1,\cos'(z_0)=-1\Rightarrow -1$. Para $z_0=-\pi/2$, $\sin z_0=-1,\cos'(z_0)=1\Rightarrow -1$.)

Cada polo contribui $-1$.

4 Soma das résides e teorema dos resíduos

Soma das résides dentro de $\gamma$: $-1 + (-1) = -2$.

Pelo teorema dos resíduos (orientação positiva):

$$\oint_{\gamma}\tan z\,dz = 2\pi i \cdot (\text{soma das résides}) = 2\pi i \cdot (-2) = -4\pi i.$$

Resultado final

$$\boxed{\displaystyle \oint_{|z|=2}\tan z\,dz = -4\pi i.}$$

Questão 4

Sejam $z,w\in \mathbb{C}$. Qual das expressões abaixo coincide com $\cos (z-w)$?

Lembrando as formas de Euler:

$$\cos u=\frac{e^{iu}+e^{-iu}}{2},\qquad \sin u=\frac{e^{iu}-e^{-iu}}{2i}.$$

1 Escrevendo $\cos(z-w)$

$$\cos(z-w)=\frac{e^{\,i(z-w)}+e^{-\,i(z-w)}}{2} =\frac{e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}}{2}. \tag{*}$$

2 Escrevendo $\cos z\cos w+\sin z\sin w$ em termos exponenciais

Primeiro,

$$\cos z\cos w=\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})}{4} =\frac{e^{i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}+e^{-i(z+w)}}{4}.$$

E

$$\sin z\sin w=\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{(2i)^2} =\frac{(e^{i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}+e^{-i(z+w)})}{-4}.$$

Somando os dois termos:

$$\cos z\cos w+\sin z\sin w =\frac{1}{4}\Big(A\Big)-\frac{1}{4}\Big(B\Big),$$

onde

$$A=e^{i(z+w)}+e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}+e^{-i(z+w)},$$ $$B=e^{i(z+w)}-e^{i(z-w)}-e^{-i(z-w)}+e^{-i(z+w)}.$$

Calculando $A-B$:

$$A-B = 2e^{i(z-w)}+2e^{-i(z-w)}.$$

Logo

$$\cos z\cos w+\sin z\sin w =\frac{1}{4}\big(2e^{i(z-w)}+2e^{-i(z-w)}\big) =\frac{e^{i(z-w)}+e^{-i(z-w)}}{2}.$$

Mas isso é exatamente a expressão em $(*)$, que é $\cos(z-w)$.

Conclusão

$$\boxed{\cos(z-w)=\cos z\cos w+\sin z\sin w.}$$

Questão 5

Para qual valor a série abaixo converge?
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} z_n,\quad z_n=\frac{3^n+16^n}{9^n}.$

1 Reescrever o termo geral

$$z_n=\frac{3^n}{9^n}+\frac{16^n}{9^n} =\left(\frac{1}{3}\right)^n+\left(\frac{16}{9}\right)^n.$$

Portanto a série se separa em duas séries geométricas:

$$\sum_{n=0}^\infty z_n=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{3}\right)^n \;+\; \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{16}{9}\right)^n.$$

2 Analisar cada parcela

• Primeira série: razão $r=\tfrac{1}{3}$, com $|r|<1$. Logo converge e sua soma vale

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{1}{2/3}=\frac{3}{2}.$$

• Segunda série: razão $r=\tfrac{16}{9}$. Como $|r|=\tfrac{16}{9}>1$, os termos $\left(\tfrac{16}{9}\right)^n$ não tendem a zero (pelo contrário, crescem sem limite). Pelo teste necessário para convergência, se os termos gerais não tendem a zero a série diverge. Portanto

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{16}{9}\right)^n \quad\text{diverge.}$$

(Alternativamente, a soma parcial fechada é $\frac{(16/9)^{N+1}-1}{(16/9)-1}$, que tende a $+\infty$ quando $N\to\infty$.)

3 Conclusão

Como a soma total é a soma de duas séries e uma delas diverge, a série $\sum_{n=0}^\infty z_n$ não converge.

Questão 6

Qual é a expressão derivada da funçao abaixo?

$$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, \quad f(z) = z^5 + 3z$$

Onde:

• $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ indica que $f$ é uma função que leva números complexos ($\mathbb{C}$) em números complexos ($\mathbb{C}$).

• $f(z) = z^5 + 3z$ é a regra da função, ou seja, como cada número complexo $z$ é transformado.

1 Identificar cada termo

A função tem dois termos:

1. $z^5$

2. $3z$

2 Aplicar a regra da potência

A regra da potência para derivadas diz:

$$\frac{d}{dz} z^n = n z^{n-1}$$

• Para $z^5$:

$$\frac{d}{dz} z^5 = 5 z^{4}$$

3 Aplicar a derivada de uma constante multiplicada por $z$

A derivada de $c z$, com $c$ constante, é:

$$\frac{d}{dz} (c z) = c$$

• Para $3z$:

$$\frac{d}{dz} 3z = 3$$

4 Somar os resultados

Agora somamos as derivadas de cada termo:

$$f'(z) = 5z^4 + 3$$

Questão 7

Classifique o conjunto dado por:

$$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 4\}$$

1 Identificar o tipo de conjunto

A equação $x^2 + y^2 = 4$ representa:

• Todos os pontos $(x, y)$ no plano tal que a distância à origem é 2.

• Geometricamente, isso é uma circunferência de raio 2 centrada na origem.

• Nota: o interior do círculo ($x^2 + y^2 < 4$) não está incluído. Só os pontos da borda.

2 Verificar se é fechado

Um conjunto $A$ é fechado se contém todos os seus pontos de fronteira.

• A fronteira do círculo de raio 2 é exatamente a circunferência.

• Como $A$ inclui todos esses pontos, então A é fechado.

3 Verificar se é aberto

Um conjunto é aberto se todo ponto tem uma vizinhança totalmente contida no conjunto.

• Pegando qualquer ponto da circunferência, qualquer pequena vizinhança terá pontos fora da circunferência.

• Portanto, A não é aberto.

4 Verificar se é convexo

Um conjunto é convexo se para quaisquer dois pontos do conjunto, o segmento de reta entre eles está totalmente dentro do conjunto.

• Pegando dois pontos da circunferência, o segmento de reta entre eles passa pelo interior do círculo.

• Como o interior não está incluído, o segmento não fica totalmente em $A$.

• Então, A não é convexo.

5 Verificar se é compacto

Um conjunto é compacto se é fechado e limitado:

• $A$ é fechado (Passo 2).

• $A$ é limitado, pois todos os pontos têm $|x|\le 2$ e $|y|\le 2$.

• Logo, A é compacto.

Questão 8

Qual é o valor do modulo do numero abaixo?:

$$z = 4 - 3i$$

1 Lembrar a fórmula do módulo

Para um número complexo $z = a + bi$:

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Aqui:

• $a = 4$ (parte real)

• $b = -3$ (parte imaginária)

2 Substituir os valores na fórmula

$$|4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2}$$

3 Elevar ao quadrado

$$4^2 = 16, \quad (-3)^2 = 9$$ $$|4 - 3i| = \sqrt{16 + 9}$$

4 Somar

$$16 + 9 = 25$$ $$|4 - 3i| = \sqrt{25}$$

5 Raiz quadrada

$$|4 - 3i| = 5$$

Questão 9

Qual o valor da soma:

$$(4 - 3i) + (-2 + 5i)$$

1 Separar parte real e parte imaginária

• Partes reais: $4$ e $-2$

• Partes imaginárias: $-3i$ e $5i$

 2 Somar as partes reais

$$4 + (-2) = 2$$

3 Somar as partes imaginárias

$$-3i + 5i = 2i$$

4 Escrever o resultado

$$(4 - 3i) + (-2 + 5i) = 2 + 2i$$

Questão 10

Qual é o conjunto solução da equação:

$$\ln z = 0$$

1 Relembrar a definição do logaritmo complexo

Para números complexos, o logaritmo natural é definido como:

$$\ln z = \ln|z| + i \arg(z)$$

Onde:

• $|z|$ é o módulo de $z$

• $\arg(z)$ é o argumento de $z$ (ângulo com o eixo real positivo)

2 Igualar a zero

$$\ln z = 0 \implies \ln|z| + i \arg(z) = 0$$

Um número complexo é zero se e somente se:

• Parte real = 0 → $\ln|z| = 0$

• Parte imaginária = 0 → $\arg(z) = 0$

3 Resolver a parte real

$$\ln|z| = 0 \implies |z| = e^0 = 1$$

Então o módulo de $z$ é 1.

4 Resolver a parte imaginária

$$\arg(z) = 0 \implies z \text{ está sobre o eixo real positivo}$$

5 Escrever o conjunto solução

Como o módulo é 1 e o argumento é 0:

$$z = 1$$

Até a proxima ;)

    recomendação de leituras e estudos:

Livros introdutórios

• “Elementary Complex Analysis” – Marsden & Hoffman
  Ótimo para começar com números complexos, operações, forma trigonométrica e exponencial. Explica muito bem a ideia de módulo, argumento e logaritmo complexo.

• “Complex Numbers and Geometry” – Liang-shin Hahn
  Foca na interpretação geométrica dos números complexos e suas aplicações, ótimo pra fixar a parte visual.

• “Complex Variables and Applications” – Churchill & Brown
  Um clássico universitário. Começa do básico, cobre funções de variável complexa, séries de Laurent, integração no plano complexo. Ideal se você quiser ir além do módulo, soma e exponencial.

Livros intermediários / avançados

• “Visual Complex Analysis” – Tristan Needham
  Muito bom, visual e intuitivo. Mostra os números complexos como algo geométrico, com figuras, rotações e transformações. Ótimo pra entender conceitos que o cálculo tradicional não mostra.

• “Complex Analysis” – Elias Stein & Rami Shakarchi
  Mais formal e teórico, cobre propriedades profundas de funções complexas, integrais e séries. Ideal se você quiser avançar pra análise complexa.

Recursos online

• MIT OpenCourseWare – Complex Variables
  Tem vídeo aulas gratuitas, bem didático e com exercícios resolvidos.

• Khan Academy – Números Complexos
  Introdução leve, ótima pra revisar operações, módulo, argumento, forma trigonométrica e exponencial.

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