O Algoritmo da divisão de Euclides.

O Algoritmo da divisão de Euclides.

Por; Marcelo Fontinele, MF Engenharia & Consultoria.

 

1. Introdução

O Algoritmo da Divisão de Euclides, também conhecido como o Teorema da Divisão, é uma das ferramentas fundamentais da Teoria dos Números. Introduzido na obra Elementos de Euclides, por volta de 300 a.C., este teorema formaliza a operação de divisão de dois inteiros e estabelece a existência de um quociente e um resto com propriedades específicas. O teorema enuncia que, dado um número inteiroe um divisor, é sempre possível encontrar inteirose tais que, com. 

A importância do Algoritmo da Divisão vai além de sua simplicidade. Ele é a base para várias áreas da matemática, especialmente na Teoria dos Números, como a busca pelo máximo divisor comum (MDC) e a simplificação de equações diofantinas. No contexto moderno, o algoritmo também é utilizado em áreas de criptografia e teoria de códigos.

Este artigo tem como objetivo demonstrar o teorema do Algoritmo da Divisão de Euclides, apresentando sua formulação e prova detalhada, além de discutir suas aplicações e impacto na matemática contemporânea.

2. Definições Preliminares

Antes de mergulharmos na demonstração do teorema, é necessário esclarecer alguns conceitos fundamentais.

2.1 Divisão Euclidiana

A divisão euclidiana é o processo de dividir um número inteiro  por outro número inteiro  de modo a obter um quociente inteiroe um resto. A relação entre esses elementos pode ser expressa pela equação:

 onde 

Neste caso,  é chamado de dividendo,de divisor,  de quociente, e  de resto. A restriçãogarante que o resto seja sempre menor que o divisor, o que é uma das características fundamentais da divisão euclidiana.

2.2 Inteiros e Operação de Divisão

A divisão de inteiros, no sentido euclidiano, é diferente da divisão de números reais, pois o quociente e o resto resultantes devem ser inteiros. Assim, ao realizar a divisão de dois inteiros  e , não estamos interessados no quociente decimal, mas sim no quociente inteiro que satisfaça a equação.

3. Enunciado do Teorema

O teorema do Algoritmo da Divisão de Euclides pode ser enunciado da seguinte maneira:

>>> Para quaisquer números inteiros  e, existem inteiros  e , tais que:eonde  é o quociente e  é o resto.

Este teorema afirma que, independentemente dos valores de \(a\) e \(b\), sempre existe um quociente \(q\) e um resto \(r\) que satisfazem a equação acima. Além disso, tanto \(q\) quanto \(r\) são únicos.

A relação matemática entre , , , e  reflete uma ideia simples, mas poderosa: a operação de divisão pode ser expressa de forma algébrica, e essa relação é a base para muitas outras operações na teoria dos números.

4. Demonstração do Teorema

A seguir, apresentamos a demonstração do Teorema da Divisão de Euclides, dividida em duas partes: a prova de existência e a prova de unicidade.

4.1 Prova da Existência

Seja  um número inteiro e  um divisor não nulo. O objetivo é provar que existem inteiros  e  que satisfaçam a equação:

A abordagem da prova é construtiva. Considere os múltiplos inteiros de, isto é, o conjunto. Esses valores podem ser positivos ou negativos, mas, como  é não nulo, eles cobrem todos os inteiros. Entre esses múltiplos, haverá um valor mínimo não negativo. Chamemos esse valor de, e o quociente associado de . Assim, podemos escrever:

Logo,  é o resto da divisão de  por  e  é o quociente.

4.2 Prova da Unicidade

Agora, vamos provar que e  são únicos. Suponha que existam dois pareseque satisfaçam:

Subtraindo essas duas equações, obtemos:

Como, isso implica que, e, portanto,. Assim,  e  são únicos.

5. Aplicações do Algoritmo da Divisão de Euclides

O Algoritmo da Divisão tem muitas aplicações práticas, principalmente na Teoria dos Números. Algumas das mais importantes são:

5.1 Máximo Divisor Comum (MDC)

Um dos usos mais importantes do Algoritmo da Divisão de Euclides é o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros. O algoritmo de Euclides, que se baseia no teorema da divisão, permite encontrar o MDC através de uma série de divisões sucessivas.

5.2 Simplificação de Frações

O Algoritmo da Divisão também é fundamental para a simplificação de frações. Sabendo o MDC de dois números, podemos simplificar uma fração ao dividir o numerador e o denominador pelo seu MDC.

5.3 Resolução de Equações Diofantinas Lineares

O Algoritmo da Divisão também desempenha um papel crucial na resolução de equações diofantinas lineares, que são equações do tipo \(ax + by = c\), onde a, b, e c são inteiros. Através da aplicação do Algoritmo da Divisão e do algoritmo de Euclides, é possível determinar se uma solução existe e, em caso afirmativo, encontrar essa solução.

6. Exemplos e Ilustrações

Para ilustrar o uso do Algoritmo da Divisão, consideremos o seguinte exemplo:

Seja a = 25 e b = 4. Aplicando o algoritmo, temos:

Logo, o quociente é q = 6 e o resto é r = 1. Esse processo pode ser repetido para diferentes valores de a e b, ilustrando a aplicabilidade do teorema em várias situações numéricas.

7. Conclusão

O Teorema do Algoritmo da Divisão de Euclides é uma ferramenta simples, mas poderosa, com implicações profundas na Teoria dos Números e na matemática como um todo. Sua demonstração, baseada em uma prova construtiva e na unicidade dos quocientes e restos, fornece uma base sólida para várias outras áreas da matemática, como a criptografia e a teoria de códigos.

8. Referências

1. Burton, D. M. (2011). Elementary Number Theory. McGraw-Hill.

2. Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press.

3. Oliveira, C. J. (2017). Teoria dos Números: Um Estudo Introductório. Editora Unesp.

4. Santos, J. R. (2020). Aritmética e Criptografia: Uma Introdução Teórica e Prática. Editora PUC

-Rio.