Resultados condicionais: Consequências sob Elliott–Halberstam e a hipótese de Riemann generalizada (GRH) 1. Introdução As técnicas elementares e os métodos de crivo oferecem limites superiores razoáveis para a função de contagem de primos gêmeos π 2 ( x ) = ∣ { p ≤ x : p , p + 2 s a ˜ o primos } ∣ , \pi_2(x) = |\{p \leq x : p, p+2 \ \text{são primos}\}|, mas falham em estabelecer estimativas assintóticas de ordem correta. O avanço real surge quando se assume hipóteses analíticas profundas, como a Hipótese de Riemann Generalizada (GRH) e a Conjectura de Elliott–Halberstam (EH) , que fornecem controle mais fino da distribuição dos primos em progressões aritméticas. Essas hipóteses permitem deduzir resultados condicionais consistentes com a Conjectura de Hardy–Littlewood para primos gêmeos , que prevê: π 2 ( x ) ∼ 2 C 2 ∫ 2 x d t ( ln t ) 2 , com C 2 ≈ 0.66016... ( constante dos primos g e ˆ meos ) . \pi_2(x) \sim 2C_2 \int_2^x \frac{dt}{(...
Panorama de Crivos: Brun, Selberg e o Problema da Paridade Introdução aos Crivos O estudo de primos gêmeos está intimamente ligado aos métodos de crivo , que são uma das ferramentas analíticas mais poderosas da teoria dos números. A filosofia básica de um crivo é estimar o tamanho de um conjunto de inteiros removendo sistematicamente aqueles divisíveis por primos pequenos. Formalmente, dado um conjunto A ⊂ N A \subset \mathbb{N} e um conjunto de primos P P , define-se: S ( A , P , z ) = { n ∈ A : gcd ( n , P ( z ) ) = 1 } , P ( z ) = ∏ p < z p S(A, P, z) = \{ n \in A : \gcd(n, P(z)) = 1 \}, \quad P(z) = \prod_{p < z} p A análise desses conjuntos fornece informações sobre a distribuição de primos e constelações de primos, como os primos gêmeos. Crivo de Brun e o Primeiro Avanço Em 1919, Viggo Brun introduziu o primeiro crivo sistemático capaz de atacar o problema dos primos gêmeos. Seu resultado histórico é o Teorema de Brun , que afirma que a série dos recíprocos dos ...