Universo Plural

 Algumas questões sobre variáveis complexas    Questão 1 ( 2 + 2 i ) 3 1 + i 1. Calcular ( 2 + 2 i ) 3 (2 + 2i)^3 Primeiro, podemos simplificar: 2 + 2 i = 2 ( 1 + i ) 2 + 2i = 2(1+i) Logo: ( 2 + 2 i ) 3 = [ 2 ( 1 + i ) ] 3 = 2 3 ( 1 + i ) 3 = 8 ( 1 + i ) 3 (2 + 2i)^3 = [2(1+i)]^3 = 2^3 (1+i)^3 = 8(1+i)^3 Agora, expandindo ( 1 + i ) 3 (1+i)^3 : ( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 1 + 2 i − 1 = 2 i (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i ( 1 + i ) 3 = ( 1 + i ) ( 2 i ) = 2 i + 2 i 2 = 2 i − 2 = − 2 + 2 i (1+i)^3 = (1+i)(2i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i Então: ( 2 + 2 i ) 3 = 8 ( − 2 + 2 i ) = − 16 + 16 i (2+2i)^3 = 8(-2 + 2i) = -16 + 16i 2. Divisão por ( 1 + i ) (1+i) − 16 + 16 i 1 + i \frac{-16 + 16i}{1+i} Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado ( 1 − i ) (1-i) : ( − 16 + 16 i ) ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 − i ) = ( − 16 + 16 i ) ( 1 − i ) 1 − i 2 = ( − 16 + 16 i ) ( 1 − i ) 2 \frac{(-16+16i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{(-16+16i)(1-i)}{1 - i^2} = \frac{...

  Integrais duplas sobre regiões gerais 1. Introdução Na disciplina de Cálculo, muitos alunos se deparam com a ideia de “somar infinitos valores” para obter áreas ou volumes. Isso já acontece na integral simples, mas quando avançamos para funções de duas variáveis, surge a integral dupla , uma ferramenta poderosa para calcular áreas, volumes, centros de massa, distribuições de probabilidade e muito mais. A ideia central é simples: enquanto a integral simples acumula valores sobre um intervalo de reta, a integral dupla acumula valores sobre uma região no plano . 2. Definição formal Seja f ( x , y ) f(x,y) uma função definida em uma região R ⊂ R 2 R \subset \mathbb{R}^2 . Dividimos R R em pequenas partes Δ A i j \Delta A_{ij} (pequenos retângulos ou sub-regiões), escolhemos um ponto amostral ( x i j ∗ , y i j ∗ ) (x_{ij}^*,y_{ij}^*) em cada uma delas e somamos: ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n f ( x i j ∗ , y i j ∗ ) Δ A i j \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \Delta A_{ij} ...